Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \cos (t)}{2}$ è positivo.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ e $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.6

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2

$3$ e $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.4

$\frac{9 \sin (t)}{2}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ per $1$ .

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ per $\frac{3 \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Passaggio 2.2.10

Elimina il fattore comune di $6$ e $18$ .

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Passaggio 2.2.10.1

Scomponi $6$ da $6 \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Passaggio 2.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.10.2.1

Scomponi $6$ da $18 \sin (t) \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Passaggio 2.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Passaggio 2.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Passaggio 2.2.11

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 2.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Passaggio 2.2.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Passaggio 4

Converti da $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

Passaggio 5

L'integrale di $\csc (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$