Calcolo Esempi

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

Passaggio 1

Sia $u = e^{t} - 4$ . Allora $d u = e^{t} d t$ , quindi $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = e^{t} - 4$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{t} - 4$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{t} - 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$e^{t} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $e^{t}$ e $0$ .

$e^{t}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \cot (u) d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\cot (u)$ rispetto a $u$ è $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\ln (| \sin (u) |) + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{t} - 4$ .

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$