Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.3.9

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.4

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.11

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3.17

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 2.3.18

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 4.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 4.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 4.1.3.9

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.4

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Passaggio 5.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 5.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.6

Il minimo comune multiplo di $3, 3, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 5.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{1}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo di $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $3 x^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ per $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x^{\frac{1 + 1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nel numeratore.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{\frac{2}{3}} = 2$

Passaggio 5.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Semplifica.

$8 x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$8 x = 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.4.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Passaggio 5.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Passaggio 5.4.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Passaggio 5.4.4.3

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.4.4.4

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.4.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Passaggio 5.4.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Passaggio 5.4.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Passaggio 5.4.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Passaggio 5.4.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 x = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x = 0$

Passaggio 6.3.3

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 \frac{2^{1}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.2.2

Calcola l'esponente.

$\frac{4}{9 \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{2}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{9 (\frac{2}{4})} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 (1)}{4}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 (\frac{1}{2})} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

$9$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$4 (\frac{2}{9}) + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $4 (\frac{2}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

$4$ e $\frac{2}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.1.5.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Passaggio 9.1.5.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Passaggio 9.1.5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{4}}}$

Passaggio 9.1.5.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{4}{16})}$

Passaggio 9.1.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 (1)}{16}}$

Passaggio 9.1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.4.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 9.1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 9.1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 9.1.6

$9$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{8}{9} + 2 (\frac{4}{9})$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $2 (\frac{4}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

$2$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 4}{9}$

Passaggio 9.1.8.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{8}{9}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 + 8}{9}$

Passaggio 9.2.2

Somma $8$ e $8$ .

$\frac{16}{9}$

Passaggio 10

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{4}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{16} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 (1)}{16} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.1.6.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.1.6.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.1.6.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.1.6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.1.6.2

Calcola l'esponente.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.1.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.1.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 11.2.1.7.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 11.2.1.7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{2}}$

Passaggio 11.2.1.7.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Passaggio 11.2.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.8.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 11.2.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.8.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1 - 2}{4}$

Passaggio 11.2.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = - \frac{1}{4}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{2} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{9 (1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.6

Moltiplica $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{4}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.7.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.7.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.7.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.7.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.7.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.7.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.7.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.7.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 \frac{2^{1}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.7.2

Calcola l'esponente.

$\frac{4}{9 \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.8.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{2}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.8.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{9 (\frac{2}{4})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.9.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 (1)}{4}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 (\frac{1}{2})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.2

$9$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$4 (\frac{2}{9}) + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $4 (\frac{2}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

$4$ e $\frac{2}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 13.1.5.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Passaggio 13.1.5.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Passaggio 13.1.5.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Passaggio 13.1.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Passaggio 13.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{4} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Passaggio 13.1.5.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Passaggio 13.1.5.6

Moltiplica $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.7.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.7.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.7.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.7.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.7.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.7.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.7.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.7.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.7.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.7.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.8.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 13.1.5.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Passaggio 13.1.5.8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Passaggio 13.1.5.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{4}}}$

Passaggio 13.1.5.8.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{4}{16})}$

Passaggio 13.1.5.9

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.9.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 (1)}{16}}$

Passaggio 13.1.5.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.9.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 13.1.5.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 13.1.5.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 13.1.6

$9$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 13.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{8}{9} + 2 (\frac{4}{9})$

Passaggio 13.1.8

Moltiplica $2 (\frac{4}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.1

$2$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 4}{9}$

Passaggio 13.1.8.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{8}{9}$

Passaggio 13.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 + 8}{9}$

Passaggio 13.2.2

Somma $8$ e $8$ .

$\frac{16}{9}$

Passaggio 14

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{\frac{4}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = 1 (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.7.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.7.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.7.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.7.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.7.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.7.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.8.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{4}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.8.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{16} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.9

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 (1)}{16} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.1.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 15.2.1.10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}))$

Passaggio 15.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.11.1

Sposta ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot (- 1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.11.2

Moltiplica ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.11.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot ((- 1) (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}))$

Passaggio 15.2.1.11.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3} + 1} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.11.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2 + 3}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.11.5

Somma $2$ e $3$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{5}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.12

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.13

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.14

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.14.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.14.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{5} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 15.2.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.1.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.16.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.16.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.1.16.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.16.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.1.16.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.1.16.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.16.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.1.16.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.1.16.2

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.1.17

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.17.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.1.17.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.2.1.17.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.17.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.2.1.17.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{2}}$

Passaggio 15.2.1.17.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Passaggio 15.2.1.18

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.18.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 15.2.1.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.18.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 15.2.1.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 15.2.1.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1 - 2}{4}$

Passaggio 15.2.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 15.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = - \frac{1}{4}$

Passaggio 15.2.7

La risposta finale è $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{4}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{4}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 18

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) \cup (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0) \cup (0, \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) \cup (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, \infty)$

Passaggio 18.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 3$ , dall'intervallo $(- \infty, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})$ nella derivata prima $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1.1

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{- 1 \cdot - 3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.1.2

Scomponi $- 3$ da $4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 3 (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})}{- 1 \cdot - 3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}}{- 1}$ .

$f' (- 3) = - 1 \cdot (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})$ come $- (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})$ .

$f' (- 3) = - (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 3) = - (4 {(- 3)}^{- \frac{2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = - (4 (\frac{1}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}})) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.1.7

$4$ e $\frac{1}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.2

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.3

Per scrivere $- \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.4

Per scrivere $- \frac{2}{- 1 (- 3) {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $- - 3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.5.1

Moltiplica $\frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.5.2

Moltiplica $\frac{2}{- 1 (- 3) {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.5.4

Moltiplica ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.5.4.1

Sposta ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 ({(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 18.2.2.5.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.5.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1 + 1}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.5.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.5.5

Riordina i fattori di ${(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 3) = \frac{- 4 \cdot 3 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.6.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 12 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.7

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 12 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.8

Scomponi $- 1$ da $- 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 12 - (2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.9

Scomponi $- 1$ da $- 1 (12) - (2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 (12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 3) = - \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.11

La risposta finale è $- \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.18$ , dall'intervallo $(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0)$ nella derivata prima $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.18$ nell'espressione.

$f' (- 0.18) = \frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.3.2

La risposta finale è $\frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.18$ , dall'intervallo $(0, \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})$ nella derivata prima $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.18$ nell'espressione.

$f' (0.18) = \frac{4 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1.1

Eleva $0.18$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.18) = \frac{4 \cdot 0.56462161}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.56462161$ .

$f' (0.18) = \frac{2.25848646}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.4.2.1.3

Dividi $2.25848646$ per $3$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.4.2.1.4

Eleva $0.18$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{3 \cdot 0.56462161}$

Passaggio 18.4.2.1.5

Moltiplica $3$ per $0.56462161$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{1.69386485}$

Passaggio 18.4.2.1.6

Dividi $2$ per $1.69386485$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - 1 \cdot 1.18073174$

Passaggio 18.4.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1.18073174$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - 1.18073174$

Passaggio 18.4.2.2

Sottrai $1.18073174$ da $0.75282882$ .

$f' (0.18) = - 0.42790292$

Passaggio 18.4.2.3

La risposta finale è $- 0.42790292$ .

$- 0.42790292$

Passaggio 18.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dall'intervallo $(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, \infty)$ nella derivata prima $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \frac{4 {(3)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1.1

Sposta ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (3) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $3^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{- \frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = \frac{4}{3^{1 - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{3 - 1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.2.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.3

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.3.4

Somma $3$ e $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.2

Per scrivere $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3^{\frac{4}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.3.1

Moltiplica $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.3.2

Moltiplica $3^{\frac{2}{3}}$ per $3^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.3.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2 + 2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.3.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.5

La risposta finale è $\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 18.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ , allora $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 18.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 18.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ , allora $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 18.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 19