Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (3 x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \ln (3 x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (3 x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int \ln (3 x) x^{- 2} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (3 x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (3 x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\ln (3 x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Passaggio 3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Passaggio 3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Passaggio 3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ per $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - x^{- 1} + C$

Passaggio 7

Riscrivi $- \frac{\ln (3 x)}{x} - x^{- 1} + C$ come $- \frac{\ln (3 x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \frac{1}{x} + C$