Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 2.1.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.1.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int 2 \ln (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \ln (u) d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \ln (u)$ e $dv = 1$ .

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$u$ e $\frac{1}{u}$ .

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

Passaggio 7

Semplifica.

$2 (\ln (u) u - u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 9.4

Semplifica.

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Passaggio 9.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 9.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$