Calcolo Esempi

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{5}{x}$ . Allora $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{5}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.1.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.6.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

Passaggio 2

Poiché $- \frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- \frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Passaggio 3

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{5}$ e $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{5}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

Passaggio 6

Riordina i termini.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$