Calcolo Esempi

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{2}$ e $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ .

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ .

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ per $1$ .

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Passaggio 8

Sia $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Allora $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $e^{u_{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

Passaggio 8.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{2}}$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 9

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u_{3}$ e $dv = \sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ per $1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

Passaggio 13

Riscrivi $u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ come $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ .

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $e^{u_{2}}$ .

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

Passaggio 14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Riduci l'espressione $\frac{2 x}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Elimina il fattore comune.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Passaggio 15.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Passaggio 15.2

Riduci l'espressione $\frac{2 x}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Elimina il fattore comune.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Passaggio 15.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Passaggio 15.3

Riduci l'espressione $\frac{2 x}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Elimina il fattore comune.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Passaggio 15.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Passaggio 15.4

Dividi $x$ per $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Passaggio 15.5

Dividi $x$ per $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Passaggio 15.6

Dividi $x$ per $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$