Calcolo Esempi

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{6}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

Passaggio 1.3.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Passaggio 1.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Passaggio 5

Calcola $- \cos (u)$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

Passaggio 7.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

Passaggio 7.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

Passaggio 7.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

Passaggio 7.4

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0$