Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 6

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Passaggio 8

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $x$ per $\frac{π}{3}$ e per $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 9.2

Calcola $\sin (u)$ per $\frac{2 π}{3}$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.2

Per scrivere $- \frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.3.3

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.5

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 9.3.7

Sottrai $3 π$ da $4 π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Passaggio 11.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 11.3

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 11.4

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Passaggio 11.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Passaggio 11.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 11.7

Semplifica.

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Passaggio 11.7.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12}$ .

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Passaggio 11.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 11.7.1.2

Moltiplica $2$ per $12$ .

$\frac{π}{24} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 11.7.2

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Passaggio 11.7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 11.7.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 11.7.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Passaggio 11.7.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.7.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.09740604 \dots$