Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Passaggio 5

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} (\sin (0) - 1)$

Passaggio 7.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1)$

Passaggio 7.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$