Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $1$ e per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

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Passaggio 4.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.1.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Passaggio 4.2

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Passaggio 4.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 1}{16}$

Passaggio 4.5

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{3}{16}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{16}$

Forma decimale:

$0.1875$