Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $\sin (x)$ da $0$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

Passaggio 1.3.4

Somma $2$ e $1$ .

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ e per $\frac{3}{2}$ .

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Forma decimale:

$0.44948974 \dots$