Calcolo Esempi

$\frac{3^{x}}{\log_{3} (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = \log_{3} (x)$ .

$\frac{\log_{3} (x) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 3

La derivata di $\log_{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 4

$\frac{1}{x \ln (3)}$ e $3^{x}$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.1.2

Riordina i fattori in $\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3^{x}$ da $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $3^{x}$ da $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x)$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $3^{x}$ da $- \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $3^{x}$ da $3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $\ln (3) \log_{3} (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) \cdot \frac{x \ln (3)}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.3

$\ln (3) \log_{3} (x)$ e $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3^{x} \frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Eleva $\ln (3)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Eleva $\ln (3)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x {\ln (3)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x \ln^{2} (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3^{x} \frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.3

$3^{x}$ e $\frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)} \cdot \frac{1}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.5

Combina.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $3^{x}$ per $1$ .

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.7

Riordina i fattori in $\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$ .

$\frac{3^{x} (x \ln^{2} (3) \log_{3} (x) - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$