Calcolo Esempi

$\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$

Passaggio 1

Riordina $e^{2 x}$ e $\cos (4 x)$ .

$\int \cos (4 x) e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (4 x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- 4 \sin (4 x)) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2} \cdot - 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot - 4$ fuori dall'integrale.

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\cos (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Passaggio 4.2

$\cos (4 x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{2 x}$ e $\sin (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int \sin (4 x) e^{2 x} d x)$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (4 x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (4 \cos (4 x)) d x))$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2} \cdot 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Passaggio 7.2

$\sin (4 x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} \cdot \frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2}$ per $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{2 \cdot 2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Passaggio 7.6

Moltiplica.

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + 1 (\frac{- 4}{2}) (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

Passaggio 7.6.3

Moltiplica $\frac{- 4}{2}$ per $1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 4}{2} (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

Passaggio 7.7

Moltiplica $\frac{4}{2}$ per $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Passaggio 7.8

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{4} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Passaggio 8

Risolvendo $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ , troviamo che $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta $- 4$ alla sinistra di $\sin (4 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4 \cdot (\sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 \sin (4 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 (1)}}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 \cdot 1}}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (4 x) e^{2 x}}{1}}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9.1.2.2.4

Dividi $- \sin (4 x) e^{2 x}$ per $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (- \sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 1 (\sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $\sin (4 x)$ per $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{20}{4}} + C$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $20$ e $4$ .

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Passaggio 9.1.5.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4}} + C$

Passaggio 9.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 (1)}} + C$

Passaggio 9.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}} + C$

Passaggio 9.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{5}{1}} + C$

Passaggio 9.1.5.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

Passaggio 9.1.7

Combina.

$\frac{2 (\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Passaggio 9.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Passaggio 9.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Passaggio 9.1.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Passaggio 9.1.10

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$ come $\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$ .

$\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$