Calcolo Esempi

$\int \frac{8 x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int \frac{x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 + 4 x^{2}$ . Allora $d u = 8 x d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 + 4 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 4 (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$0 + 8 x$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $8 x$ .

$8 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $8$ alla sinistra di $u$ .

$8 \int \frac{1}{8 u} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{8}$ e $8$ .

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + 4 x^{2}$ .

$\ln (| 3 + 4 x^{2} |) + C$