Calcolo Esempi

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Allora $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ , quindi $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{2} x$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{π}{2}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{2}{π}$ per $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

Passaggio 2.3

$\cos^{2} (u_{1})$ e $\frac{2}{π}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{π}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{2}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 10

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Passaggio 14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.1

$\frac{π}{2}$ e $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Passaggio 15.1.2

$\frac{π}{2}$ e $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Passaggio 15.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Passaggio 15.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

Passaggio 15.1.4

$\frac{1}{2}$ e $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Passaggio 15.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 15.3.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Passaggio 15.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Passaggio 15.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Passaggio 15.4

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{\sin (π x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

Passaggio 15.5

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$