Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$u]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ .

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $u + \frac{u^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

Passaggio 9.2.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

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Passaggio 9.2.6.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

Passaggio 9.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 9.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 9.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

Passaggio 9.2.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

Passaggio 9.2.7

Somma $0$ e $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

Passaggio 9.2.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

Passaggio 9.2.9

Somma $\frac{4}{3}$ e $0$ .

$5 (\frac{4}{3})$

Passaggio 9.2.10

$5$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

Passaggio 9.2.11

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20}{3}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{20}{3}$

Forma decimale:

$6.\overline{6}$

Forma numero misto:

$6 \frac{2}{3}$