Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + x$ . Allora $d u = (2 x + 1) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{2} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $2$ e per $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Passaggio 4.2.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0$

Passaggio 4.2.9

Somma $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ e $0$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Forma decimale:

$1.88561808 \dots$

Passaggio 6