Calcolo Esempi

$\int x^{3} \sqrt{x - 4} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{3}$ e $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x^{3} (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{3} \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Passaggio 2.2

$x^{3}$ e $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3} \cdot 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3} \cdot 3$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{2}{3}$ e $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 3}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{6}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Passaggio 4.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = x - 4$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = x - 4$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(u_{1} + 4)}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = u_{1} + 4$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = u_{1} + 4$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} + 4$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $4$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Sia $u_{3} = u_{2} - 4$ . Allora $d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u_{3} = u_{2} - 4$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{2} - 4$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $u_{2}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(u_{3} + 4)}^{2} d u_{3}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi ${(u_{3} + 4)}^{2}$ come $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((u_{3} + 4) (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Passaggio 8.2