Calcolo Esempi

$\int x^{3} \cos (x^{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Passaggio 2.2

$\frac{u}{2}$ e $\cos (u)$ .

$\int \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u \cos (u) d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{1}{2} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ come $\frac{1}{2} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (x^{2} \sin (x^{2}))$ .

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Passaggio 8.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \sin (x^{2}) + \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Passaggio 8.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $\sin (x^{2})$ .

$\frac{x^{2} \sin (x^{2})}{2} + \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{2}$ e $\cos (x^{2})$ .

$\frac{x^{2} \sin (x^{2})}{2} + \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (x^{2}) + \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$