Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (14 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 14 x$ . Allora $d u = 14 d x$ , quindi $\frac{1}{14} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 14 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [14 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $14$ per $1$ .

$14$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 14 x$ .

$u_{lower} = 14 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $14$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 14 x$ .

$u_{upper} = 14 \frac{π}{2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$u_{upper} = 2 (7) \frac{π}{2}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \cdot 7 \frac{π}{2}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 7 π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{7 π} \cos (u) \frac{1}{14} d u$

Passaggio 2

$\cos (u)$ e $\frac{1}{14}$ .

$\int_{0}^{7 π} \frac{\cos (u)}{14} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{14}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{14}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{14} \int_{0}^{7 π} \cos (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{14} \sin (u)]_{0}^{7 π}$

Passaggio 5

Calcola $\sin (u)$ per $7 π$ e per $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) - \sin (0))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) - 0)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) + 0)$

Passaggio 6.3

Somma $\sin (7 π)$ e $0$ .

$\frac{1}{14} \sin (7 π)$

Passaggio 6.4

$\frac{1}{14}$ e $\sin (7 π)$ .

$\frac{\sin (7 π)}{14}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{\sin (π)}{14}$

Passaggio 7.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sin (0)}{14}$

Passaggio 7.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{14}$

Passaggio 7.2

Dividi $0$ per $14$ .

$0$