Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Passaggio 1.5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

$u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e per $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.2

Combina.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

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Passaggio 7.1.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 7.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.5.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Passaggio 7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

Passaggio 7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

Passaggio 7.5

Sottrai $4$ da $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

Passaggio 7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

Passaggio 7.7

Moltiplica $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ .

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Passaggio 7.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

Passaggio 7.7.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 7.7.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

Passaggio 7.7.4

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{1}{16}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{16}$

Forma decimale:

$0.0625$