Calcolo Esempi

$\int \frac{y + 4}{y - 4} d y$

Passaggio 1

Dividi $y + 4$ per $y - 4$ .

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$4$

$y$

$4$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	-	$4$		$y$	+	$4$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	-	$4$		$y$	+	$4$
			+	$y$	-	$4$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y - 4$

				$1$
$y$	-	$4$		$y$	+	$4$
			-	$y$	+	$4$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	-	$4$		$y$	+	$4$
			-	$y$	+	$4$
					+	$8$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{8}{y - 4} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int \frac{8}{y - 4} d y$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$y + C + \int \frac{8}{y - 4} d y$

Passaggio 4

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C + 8 \int \frac{1}{y - 4} d y$

Passaggio 5

Sia $u = y - 4$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = y - 4$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 4$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$y + C + 8 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C + 8 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$y + 8 \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 4$ .

$y + 8 \ln (| y - 4 |) + C$