Calcolo Esempi

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

Passaggio 1

Sia $u = 3 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 - y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $u^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Passaggio 2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.4

Sposta le parentesi.

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.6

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.7

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.9

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.11

Sottrai $2$ da $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.12

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3.13

Sottrai $3 u^{- \frac{2}{3}}$ da $- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{2}{3}}$ rispetto a $u$ è $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - y$ .

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$