Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.4.1

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (x) - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Riordina $- 1$ e $\sec^{2} (0)$ .

$\frac{\sec^{2} (0) - 1}{\cos (0)}$

Passaggio 4.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\tan^{2} (0)}{\cos (0)}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0^{2}}{\cos (0)}$

Passaggio 4.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 4.5

Dividi $0$ per $1$ .

$0$