Calcolo Esempi

$\int x^{2} \cos (7 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \cos (7 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{7} \sin (7 x)) - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{7}$ e $\sin (7 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x^{2}$ e $\frac{\sin (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{7} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{7} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - (\frac{1}{7} \cdot 2 \int \sin (7 x) (x) d x)$

Passaggio 4

$\frac{1}{7}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} \int \sin (7 x) (x) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (7 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{1}{7} \cos (7 x)) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\cos (7 x)$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{\cos (7 x)}{7}) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{\cos (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

Passaggio 6.3

$\cos (7 x)$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - - \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + 1 \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\int \frac{\cos (7 x)}{7} d x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (7 x) d x)$

Passaggio 10

Sia $u = 7 x$ . Allora $d u = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (u) \frac{1}{7} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \frac{\cos (u)}{7} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7 \cdot 7} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 13.2

Moltiplica $7$ per $7$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Riscrivi $\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$ come $\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

$\frac{1}{7}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{7} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2.2

$\frac{x^{2}}{7}$ e $\sin (7 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2.3

$x$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x}{7} \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2.4

$\cos (7 x)$ e $\frac{x}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2.5

$\frac{1}{49}$ e $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) + C$

Passaggio 15.2.6

Per scrivere $- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot \frac{7}{7} + C$

Passaggio 15.2.7

$- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} + \frac{- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

Passaggio 15.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

Passaggio 15.2.9

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 7 (\frac{2}{7}) (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Passaggio 15.2.10

$- 7$ e $\frac{2}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 7 \cdot 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Passaggio 15.2.11

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 14}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Passaggio 15.2.12

Elimina il fattore comune di $- 14$ e $7$ .

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Passaggio 15.2.12.1

Scomponi $7$ da $- 14$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Passaggio 15.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 15.2.12.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 (1)} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Passaggio 15.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Passaggio 15.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Passaggio 15.2.12.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Passaggio 16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Riordina i fattori in $\frac{\cos (7 x) x}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

Passaggio 17.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 17.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7}) - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.2

Moltiplica $- 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7})$ .

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Passaggio 17.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + 2 \frac{x \cos (7 x)}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.2.2

$2$ e $\frac{x \cos (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.3

$- 2$ e $\frac{\sin (7 x)}{49}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} + \frac{- 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 x \cos (7 x)}{7} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.5

Per scrivere $x^{2} \sin (7 x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{49}{49}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + x^{2} \sin (7 x) \cdot \frac{49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.6

$x^{2} \sin (7 x)$ e $\frac{49}{49}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.8

Per scrivere $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $49$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 17.2.9.1

Moltiplica $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.9.2

Moltiplica $7$ per $7$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{49} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.11

Riscrivi $\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.11.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.2.11.2

Sposta $49$ alla sinistra di $x^{2} \sin (7 x)$ .

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Passaggio 17.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7} + C$

Passaggio 17.4

Moltiplica $\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Moltiplica $\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}$ per $\frac{1}{7}$ .

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49 \cdot 7} + C$

Passaggio 17.4.2

Moltiplica $49$ per $7$ .

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{343} + C$

Passaggio 17.5

Riordina i termini.

$\frac{1}{343} (14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)) + C$