Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{2 x - 1} d x$

Passaggio 1

Dividi $x$ per $2 x - 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$
					+	$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$