Calcolo Esempi

$\int \sqrt[3]{x} \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = \sqrt[3]{x}$ .

$\ln (x) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (x) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

$\ln (x)$ e $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$x^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x} d x)$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} x^{- 1} d x)$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{\frac{4}{3}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} - 1} d x)$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} d x)$

Passaggio 4.3.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} d x)$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} d x)$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4 - 3}{3}} d x)$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{1}{3}} d x)$

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$ come $\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{3}{4}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{4} x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2.2

$\frac{3 \ln (x)}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{4 \cdot 4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + C$

$\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + C$