Calcolo Esempi

$\int \sqrt{x} (6 - x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = 6 - x$ e $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 2.2

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 1 d x$

Passaggio 2.3

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $- 1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{3} d x$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ per $1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ come $4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 7.2.5

Per scrivere $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 7.2.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.2.6.1

Moltiplica $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 7.2.6.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 7.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 7.2.9

Somma $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ e $4 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 7.2.10

Scomponi $3$ da $- 6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Passaggio 7.2.11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.11.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + C$

Passaggio 7.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

Passaggio 7.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 7.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$