Calcolo Esempi

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (t)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2

$t$ e $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 3

Sia $u = t^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = t^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 t + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Passaggio 3.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

Passaggio 3.3

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Passaggio 3.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Passaggio 3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = x^{1} + 1$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

$u_{lower} = x + 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

Passaggio 3.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

Passaggio 3.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\arctan (t) t$ per $2 x$ e per $\sqrt{x}$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Passaggio 7.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $4 x^{2} + 1$ e per $x + 1$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

Passaggio 7.3

Rimuovi le parentesi.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

Passaggio 8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Passaggio 9.1.2

$\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $2 \arctan (2 x) x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Passaggio 9.3

$2 \arctan (2 x) x$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Passaggio 9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Passaggio 9.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$