Calcolo Esempi

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{\sqrt{t}} d t$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Scomponi $t$ da $t - 2 t^{8}$ .

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Passaggio 2.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{t^{1} - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $t$ da $- 2 t^{8}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $t$ da $t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})$ .

$\int \frac{t (1 - 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Passaggio 2.2

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int t (1 - 2 t^{7}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 2.3

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t (1 - 2 t^{7}) d t$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ per $t$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Passaggio 2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int t^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Passaggio 2.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Passaggio 2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Passaggio 2.3.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Passaggio 3

Espandi $t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7})$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Passaggio 3.2

Riordina $t^{\frac{1}{2}}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Passaggio 3.3

Riordina $t^{\frac{1}{2}}$ e $- 2$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Passaggio 3.4

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Passaggio 3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7} d t$

Passaggio 3.6

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Passaggio 3.7

$7$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}} d t$

Passaggio 3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 7 \cdot 2}{2}} d t$

Passaggio 3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.9.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 14}{2}} d t$

Passaggio 3.9.2

Somma $1$ e $14$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int t^{\frac{15}{2}} d t$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{\frac{15}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{17}) t^{\frac{17}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$- 2$ e $\frac{2}{17}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$