Calcolo Esempi

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 1.2

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Passaggio 1.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Passaggio 1.4

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Passaggio 1.5.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 1.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 1.7

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 1.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 1.9

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $\sec (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.9.1

Sposta $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 1.9.2

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 1.9.2.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 1.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Passaggio 1.9.3

Somma $1$ e $2$ .

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \sec (x)$ . Allora $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$