Calcolo Esempi

$\int t^{2} \sin (B t) d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t^{2}$ e $d v = \sin (B t)$ .

$t^{2} (- \frac{\cos (B t)}{B}) - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$t^{2}$ e $\frac{\cos (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - 2 \frac{\cos (B t)}{B} t d t$

Passaggio 2.3

$- 2$ e $\frac{\cos (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t)}{B} t d t$

Passaggio 2.4

$\frac{- 2 \cos (B t)}{B}$ e $t$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t) t}{B} d t$

Passaggio 2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - - \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + 1 \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$ per $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{2}{B}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{2}{B}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} \int \cos (B t) t d t$

Passaggio 6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = \cos (B t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (t \frac{\sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

Passaggio 7

$t$ e $\frac{\sin (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{B}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{B}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - (\frac{1}{B} \int \sin (B t) d t))$

Passaggio 9

Sia $u = B t$ . Allora $d u = B d t$ , quindi $\frac{1}{B} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = B t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $B t$ .

$\frac{d}{d t} [B t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $B$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $B t$ rispetto a $t$ è $B \frac{d}{d t} [t]$ .

$B \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$B \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $B$ per $1$ .

$B$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \sin (u) \frac{1}{B} d u)$

Passaggio 10

$\sin (u)$ e $\frac{1}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \frac{\sin (u)}{B} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{B}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{B}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} (\frac{1}{B} \int \sin (u) d u))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $\frac{1}{B}$ per $\frac{1}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B \cdot B} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 12.2

Eleva $B$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 12.3

Eleva $B$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B^{1}} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 12.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 12.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Riscrivi $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$ come $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$

Passaggio 14.2

Semplifica.

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Passaggio 14.2.1

Per scrivere $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{B}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) \cdot \frac{B}{B} + C$

Passaggio 14.2.2

$\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ e $\frac{B}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

Passaggio 14.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

Passaggio 14.2.4

$B$ e $\frac{2}{B}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{B \cdot 2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Passaggio 14.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 \cdot B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Passaggio 14.2.6

Elimina il fattore comune di $B$ .

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Passaggio 14.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Passaggio 14.2.6.2

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $B t$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 \frac{t \sin (B t)}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.1.2

$2$ e $\frac{t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 (t \sin (B t))}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.1.3

$2$ e $\frac{\cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.2

Scomponi $- 1$ da $- t^{2} \cos (B t)$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.3

Scomponi $- 1$ da $\frac{2 t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.4

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.5

Scomponi $- 1$ da $\frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.6

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Passaggio 16.7

Riscrivi $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ come $- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ .

$\frac{- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Passaggio 16.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Passaggio 16.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} - \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$