Calcolo Esempi

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Passaggio 1

Scomponi $\sqrt{t}$ da $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $\sqrt{t}$ da $t \sqrt{t}$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Passaggio 1.2

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Passaggio 1.3

Scomponi $\sqrt{t}$ da $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta $t^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

Passaggio 2.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $t^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta $t^{- 2}$ .

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Passaggio 2.2.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Passaggio 2.2.3.3

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Passaggio 2.2.3.4

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Passaggio 2.2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Passaggio 2.2.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.3.6.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Passaggio 2.2.3.6.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

Passaggio 2.2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

Passaggio 3

Espandi $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

Passaggio 3.2

Riordina $t^{- \frac{3}{2}}$ e $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 3.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 3.7

Somma $- 3$ e $2$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 3.8

Moltiplica $t^{- \frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $t$ è $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$