Calcolo Esempi

$\int 2 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = \sec (4 x)$ . Allora $d u_{2} = 4 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = \sec (4 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$4 \sec (4 x) \tan (4 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u_{2} + C$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Passaggio 4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Passaggio 4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} u_{2} + C$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (4 x) + C$