Calcolo Esempi

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 2

Poiché $3$ è costante rispetto a $z$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Nega l'esponente di $e^{- z}$ e rimuovilo dal denominatore.

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 {(e^{- z})}^{- 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- z})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{- z \cdot - 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- z \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{1 z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $z$ per $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $e^{z}$ per $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{z}$ rispetto a $z$ è $e^{z}$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{3 z} d z$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $z$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - (\frac{1}{3} \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{z} d z)$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{z}$ rispetto a $z$ è $\ln (| z |)$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1.1

Calcola $e^{z}$ per $- 1$ e per $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Passaggio 8.1.2

Calcola $\ln (| z |)$ per $- 1$ e per $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 20 |))$

Passaggio 8.1.3

Rimuovi le parentesi.

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 20 |))$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$

Passaggio 8.2.2

$\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.2.3

Per scrivere $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.2.4

$3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3 - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 \frac{1}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.3.4

$9$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $9 (- \frac{1}{e^{20}})$ .

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Passaggio 8.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{\frac{9}{e} - 9 \frac{1}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.3.5.2

$- 9$ e $\frac{1}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.3.6

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{| - 20 |})}{3}$

Passaggio 8.3.7

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 20$ e $0$ è $20$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Passaggio 8.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{9}{e} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Passaggio 8.3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.9.1

Per scrivere $\frac{9}{e}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} \cdot \frac{e^{19}}{e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Passaggio 8.3.9.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $e^{20}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.3.9.2.1

Moltiplica $\frac{9}{e}$ per $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Passaggio 8.3.9.2.2

Moltiplica $e$ per $e^{19}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.3.9.2.2.1

Moltiplica $e$ per $e^{19}$ .

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Passaggio 8.3.9.2.2.1.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1} e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Passaggio 8.3.9.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1 + 19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Passaggio 8.3.9.2.2.2

Somma $1$ e $19$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{20}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Passaggio 8.3.9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Passaggio 8.3.9.4

Per scrivere $- \ln (\frac{1}{20})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20}) \cdot \frac{e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Passaggio 8.3.9.5

$- \ln (\frac{1}{20})$ e $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} + \frac{- \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Passaggio 8.3.9.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Passaggio 8.3.10

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.3.11

Moltiplica $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20} \cdot 3}$

Passaggio 8.3.12

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{20}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 \cdot e^{20}}$

Passaggio 8.3.13

Riordina i fattori in $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 e^{20}}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Forma decimale:

$2.10221574 \dots$

Passaggio 10