Calcolo Esempi

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Passaggio 1

Scrivi $x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ come funzione.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 2.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.9

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.1

$x$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.2

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.4

$4$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.5

Per scrivere $x^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.9

Somma $3 x^{\frac{1}{3}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $3, 3, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{2}{3}}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 3.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.6

Il minimo comune multiplo di $3, 3, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 3.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{2}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo di $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $3 x^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ per $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.4

Somma $2$ e $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.5

Dividi $3$ per $3$ .

$4 x^{1} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.4

Semplifica $4 x^{1}$ .

$4 x + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x + 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$4 x + 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x + 4 = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 4$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $- 4$ per $4$ .

$x = - 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 5.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 5.2

Imposta il denominatore in $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 5.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.3.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $\frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $\frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}))}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}))}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{1^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}))}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{1^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}))}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 ((- 1) (\frac{1^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}))}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.5

Calcola l'esponente.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}})}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}})}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.7.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- (4 (\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}))}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.1.7.2

$4$ e $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- \frac{4}{2^{\frac{1}{3}}}}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{2^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{4}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 {(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.4.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.4.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 8.2.1.4.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}))}$

Passaggio 8.2.1.4.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}))}$

Passaggio 8.2.1.4.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}))}$

Passaggio 8.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}))}$

Passaggio 8.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}))}$

Passaggio 8.2.1.4.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 (1 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}))}$

Passaggio 8.2.1.4.6

Moltiplica $\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Passaggio 8.2.1.4.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Passaggio 8.2.1.5

$3$ e $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + 4 (\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 8.2.1.7

Moltiplica $4 \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.7.1

$4$ e $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.1.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{2 + \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.1.7.4

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.1.7.5

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.1.7.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.1.7.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.7.7.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{\frac{6 + 2}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.1.7.7.2

Somma $6$ e $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.2

La risposta finale è $- \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$ .

$- \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

$1.05826736$

Passaggio 8.4

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $1.05826736$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, 0)$ .

Crescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{4 {(1)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{3} + \frac{4}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3}$

Passaggio 9.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (1) = \frac{4 + 4}{3}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$f' (1) = \frac{8}{3}$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $\frac{8}{3}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, 0), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1)$

Passaggio 11