Calcolo Esempi

e^{5 x} + e^{- x}

$e^{5 x} + e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi

e^{5 x} + e^{- x}

$e^{5 x} + e^{- x}$ come funzione.

f (x) = e^{5 x} + e^{- x}

$f (x) = e^{5 x} + e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

e^{5 x} + e^{- x}

$e^{5 x} + e^{- x}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola

\frac{d}{d x} [e^{5 x}]

$\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = e^{x}$ e

$g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u_{1}$ come

$5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è

$a^{u_{1}} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{1}$ con

$5 x$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché

$5$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$5 x$ rispetto a

$x$ è

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica

$5$ per

$1$ .

$e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta

$5$ alla sinistra di

$e^{5 x}$ .

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = e^{x}$ e

$g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u_{2}$ come

$- x$ .

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è

$a^{u_{2}} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{2}$ con

$- x$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- x$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta

$- 1$ alla sinistra di

$e^{- x}$ .

$5 e^{5 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 2.1.3.6

Riscrivi

$- 1 e^{- x}$ come

$- e^{- x}$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$5 e^{5 x} - e^{- x}$ .

$5 e^{5 x} - e^{- x}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 3.2

Sposta

$- e^{- x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$5 e^{5 x} = e^{- x}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5 e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi

$\ln (5 e^{5 x})$ come

$\ln (5) + \ln (e^{5 x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.4.2

Espandi

$\ln (e^{5 x})$ spostando

$5 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (5) + 5 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.4.3

Il logaritmo naturale di

$e$ è

$1$ .

$\ln (5) + 5 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica

$5$ per

$1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Espandi

$\ln (e^{- x})$ spostando

$- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (5) + 5 x = - x \ln (e)$

Passaggio 3.5.2

Il logaritmo naturale di

$e$ è

$1$ .

$\ln (5) + 5 x = - x \cdot 1$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\ln (5) + 5 x = - x$

Passaggio 3.6

Sposta tutti i termini contenenti

$x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma

$x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (5) + 5 x + x = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma

$5 x$ e

$x$ .

$\ln (5) + 6 x = 0$

Passaggio 3.7

Sottrai

$\ln (5)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = - \ln (5)$

Passaggio 3.8

Dividi per

$6$ ciascun termine in

$6 x = - \ln (5)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Dividi per

$6$ ciascun termine in

$6 x = - \ln (5)$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Elimina il fattore comune di

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Passaggio 3.8.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{6}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (5)}{6}$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a

$0$ sono

$- \frac{\ln (5)}{6}$ .

$- \frac{\ln (5)}{6}$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$ uguale a

$0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove

$f (x) = e^{5 x} + e^{- x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6}) \cup (- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6}) \cup (- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 1.26823965$ nell'espressione.

$f' (- 1.26823965) = 5 e^{5 (- 1.26823965)} - e^{- (- 1.26823965)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica

$5$ per

$- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 e^{- 6.34119826} - e^{- (- 1.26823965)}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 (\frac{1}{e^{6.34119826}}) - e^{- (- 1.26823965)}$

Passaggio 6.2.1.3

$5$ e

$\frac{1}{e^{6.34119826}}$ .

$f' (- 1.26823965) = \frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{- (- 1.26823965)}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = \frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è

$\frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$ .

$\frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$- 3.54577878$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di

$x = - 1.26823965$ la derivata è

$- 3.54577878$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ .

Decrescente su

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ perché

$f' (x) < 0$

Decrescente su

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ perché

$f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0.73176034$ nell'espressione.

$f' (0.73176034) = 5 e^{5 (0.73176034)} - e^{- (0.73176034)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica

$5$ per

$0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - e^{- (0.73176034)}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - e^{- 0.73176034}$

Passaggio 7.2.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è

$5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$ .

$5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$193.59296235$

Passaggio 7.4

In corrispondenza di

$x = 0.73176034$ la derivata è

$193.59296235$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ .

Crescente su

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ perché

$f' (x) > 0$

Crescente su

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ perché

$f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su:

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$

Decrescente su:

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$

Passaggio 9