Calcolo Esempi

$\int - 15 x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

Passaggio 1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 15$ fuori dall'integrale.

$- 15 \int x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - 3 x^{5} - 1$ . Allora $d u = - 15 x^{4} d x$ , quindi $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - 3 x^{5} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- 3 x^{5} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5} - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{5} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 15 x^{4} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $- 15 x^{4}$ e $0$ .

$- 15 x^{4}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- 15 \int u^{5} \frac{1}{- 15} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 15 \int u^{5} (- \frac{1}{15}) d u$

Passaggio 3.2

$u^{5}$ e $\frac{1}{15}$ .

$- 15 \int - \frac{u^{5}}{15} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 15 (- \int \frac{u^{5}}{15} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $- 15$ .

$15 \int \frac{u^{5}}{15} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{15}$ fuori dall'integrale.

$15 (\frac{1}{15} \int u^{5} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{15}$ e $15$ .

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $15$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int u^{5} d u$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\int u^{5} d u$ per $1$ .

$\int u^{5} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x^{5} - 1$ .

$\frac{1}{6} {(- 3 x^{5} - 1)}^{6} + C$