Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Passaggio 2

Riscrivi $x^{3}$ come ${(x^{3})}^{1}$ .

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = x^{3}$ . Allora $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = x^{3}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{lower} = 1^{3}$

Passaggio 3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{upper} = 3^{3}$

Passaggio 3.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 27$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ per $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Passaggio 4.3

Sposta $3$ alla sinistra di $8 u_{1} + 1$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Allora $d u_{2} = 8 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $8 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 u_{1} + 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 7.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $8 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 7.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 7.1.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$8 + 0$

Passaggio 7.1.4.2

Somma $8$ e $0$ .

$8$

Passaggio 7.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$u_{lower} = 8 + 1$

Passaggio 7.3.2

Somma $8$ e $1$ .

$u_{lower} = 9$

Passaggio 7.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $8$ per $27$ .

$u_{upper} = 216 + 1$

Passaggio 7.5.2

Somma $216$ e $1$ .

$u_{upper} = 217$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{8}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Passaggio 8.2

Sposta $8$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{8}$ e $2$ .

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

Passaggio 12

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $217$ e per $9$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

Passaggio 13.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $217$ è $217$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

Passaggio 14.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $9$ è $9$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Forma decimale:

$0.79566819 \dots$

Passaggio 16