Calcolo Esempi

$\int \sqrt{9 x^{4} - 6 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3}$ è positivo.

$\int \sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.3

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3})}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{3} \sec (t))}^{4}}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{3} \sec (t)$ .

$\int \sqrt{9 \frac{{\sqrt{3}}^{4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{9 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{4}{2}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2}{1}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{2} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{81} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.7

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $9$ da $81$ .

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{9 (9)} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{9 \cdot 9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{\frac{9 \sec^{4} (t)}{9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.8

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{\frac{9 \sec^{4} (t)}{9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.8.2

Dividi $\sec^{4} (t)$ per $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.10.6.5

Calcola l'esponente.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.11

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3})}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{(\sqrt{3} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.12.2

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{3} \sec (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.13

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.13.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.13.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.13.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.13.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.13.5

Calcola l'esponente.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.14

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3 \sec^{2} (t)}{9} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.15

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 (- 2) \frac{3 \sec^{2} (t)}{9} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.15.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 \cdot - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \cdot 3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.15.3

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 \cdot - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \cdot 3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.15.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.16

$- 2$ e $\frac{3 \sec^{2} (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 2 (3 \sec^{2} (t))}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.17

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 6 \sec^{2} (t)}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.18

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.18.1

Scomponi $3$ da $- 6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.18.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3 (1)} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3 \cdot 1} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 2 \sec^{2} (t)}{1} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.18.2.4

Dividi $- 2 \sec^{2} (t)$ per $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 2 \sec^{2} (t) + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\sec^{4} (t)$ come ${(\sec^{2} (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \sec^{2} (t) + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \sec^{2} (t) + 1^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 \sec^{2} (t) = 2 \cdot \sec^{2} (t) \cdot 1$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi il polinomio.

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \cdot \sec^{2} (t) \cdot 1 + 1^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = \sec^{2} (t)$ e $b = 1$ .

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int (\sec^{2} (t) - 1) \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 3

Sia $u = \sec (t)$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = \sec (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (u^{2} - 1) \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Passaggio 4

Moltiplica $(u^{2} - 1) \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\int u^{2} \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$u^{2}$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} - 1 \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Passaggio 5.2

Riscrivi $- 1 \frac{\sqrt{3}}{3}$ come $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} d u + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{\sqrt{3}}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{\sqrt{3}}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int u^{2} d u + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C) - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (t)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} \sec^{3} (t) - \frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\sqrt{3} x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} \sec^{3} (arcsec (\sqrt{3} x)) - \frac{\sqrt{3}}{3} \sec (arcsec (\sqrt{3} x)) + C$