Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 3} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 3}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Passaggio 3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int \frac{1}{2 x^{3}} d x$ per $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ come $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

Passaggio 9.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}} + C$