Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Passaggio 1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.1.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $e$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Passaggio 7.1.2

Calcola $\ln (| x |)$ per $e$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.1.3.4

Per scrivere $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.1.3.5

$- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

Passaggio 7.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

Passaggio 7.3.3

Dividi $e$ per $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

Passaggio 7.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

Passaggio 7.3.6

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Forma decimale:

$2.19452804 \dots$

Passaggio 9