Calcolo Esempi

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

Passaggio 1

Poiché $24$ è costante rispetto a $t$ , sposta $24$ fuori dall'integrale.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

Passaggio 2

Dividi $t$ per $2 t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 t$

$3$

$t$

$0$

Passaggio 2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $t$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 t$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

Passaggio 2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

Passaggio 2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $t + \frac{3}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

Passaggio 2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

Passaggio 2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $t$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

Passaggio 8

Sia $u = 2 t + 3$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = 2 t + 3$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $2 t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

Passaggio 8.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Passaggio 8.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

Passaggio 8.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 8.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 8.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t + 3$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 3$

Passaggio 8.3.2

Somma $0$ e $3$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 8.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t + 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Moltiplica $2$ per $10$ .

$u_{upper} = 20 + 3$

Passaggio 8.5.2

Somma $20$ e $3$ .

$u_{upper} = 23$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Passaggio 9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\ln (| u |)]_{3}^{23}$ e $\frac{3}{4}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

Passaggio 13.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $\frac{t}{2}$ per $10$ e per $0$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Passaggio 14.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $23$ e per $3$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.1.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.4

Somma $5$ e $0$ .

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.5

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.6

$5$ e $\frac{4}{4}$ .

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Passaggio 14.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Passaggio 14.3.8

Moltiplica $5$ per $4$ .

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Passaggio 14.3.9

$24$ e $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ .

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

Passaggio 14.3.10

Elimina il fattore comune di $24$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.10.1

Scomponi $4$ da $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

Passaggio 14.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.10.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

Passaggio 14.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

Passaggio 14.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

Passaggio 14.3.10.2.4

Dividi $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ per $1$ .

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

Passaggio 15

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $23$ è $23$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

Passaggio 16.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Passaggio 16.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Passaggio 16.4

Moltiplica $6$ per $20$ .

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Passaggio 16.5

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Forma decimale:

$83.33612530 \dots$

Passaggio 18