Calcolo Esempi

$y = - \frac{y}{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{y}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = x$ .

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ nel numeratore.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

Passaggio 5.2.1.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y' x^{2} = - x y' + y$

Passaggio 5.2.1.4

Sposta $x$ .

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $- 1 y'$ come $- y'$ .

$y' x^{2} = - y' x + y$

Passaggio 5.3.2

Somma $y' x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' x^{2} + y' x = y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y' x$ da $y' x^{2} + y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y' x$ da $y' x^{2}$ .

$y' x \cdot x + y' x = y$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y' x$ da $y' x$ .

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y' x$ da $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ .

$y' x (x + 1) = y$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $x (x + 1)$ ciascun termine in $y' x (x + 1) = y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $x (x + 1)$ ciascun termine in $y' x (x + 1) = y$ .

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 5.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$