Calcolo Esempi

$\int_{0}^{7} 4 x \cdot \sqrt[3]{x + 1} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$4 (x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{3}{4}$ e ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{3}{4}$ e ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x))$

Passaggio 5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Passaggio 5.5

Somma $7$ e $1$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{3}{7}$ e $u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Passaggio 7.2

$\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ e $\frac{3}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8} \cdot 3}{4})$

Passaggio 7.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3 \cdot (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Passaggio 7.4

Per scrivere $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Passaggio 7.5

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ e $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Passaggio 7.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4 - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

Passaggio 7.7

Sposta $4$ alla sinistra di $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ .

$4 \frac{4 \cdot (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

Passaggio 7.8

$4$ e $\frac{4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$ .

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

Passaggio 7.9

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

Passaggio 7.10

Dividi $4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$ per $1$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ per $7$ e per $0$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Passaggio 8.2

Calcola $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ per $8$ e per $1$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Somma $7$ e $1$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $3$ per $16$ .

$4 (\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $7$ per $48$ .

$4 (\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.8

Elimina il fattore comune di $336$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.1

Scomponi $4$ da $336$ .

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.8.2.4

Dividi $84$ per $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.9

Somma $0$ e $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.11

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 (84 - \frac{0 \cdot 3}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.12

Moltiplica $0$ per $3$ .

$4 (84 - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$4 (84 - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (84 - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$4 (84 - 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.14

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 (84 + 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.15

Somma $84$ e $0$ .

$4 \cdot 84 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.16

Moltiplica $4$ per $84$ .

$336 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.17

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.18

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.19

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.19.1

Elimina il fattore comune.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.19.2

Riscrivi l'espressione.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.20

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.21

Moltiplica $3$ per $128$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 8.3.22

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1}{7})$

Passaggio 8.3.23

Moltiplica $3$ per $1$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

Passaggio 8.3.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$336 - 3 \frac{384 - 3}{7}$

Passaggio 8.3.25

Sottrai $3$ da $384$ .

$336 - 3 (\frac{381}{7})$

Passaggio 8.3.26

$- 3$ e $\frac{381}{7}$ .

$336 + \frac{- 3 \cdot 381}{7}$

Passaggio 8.3.27

Moltiplica $- 3$ per $381$ .

$336 + \frac{- 1143}{7}$

Passaggio 8.3.28

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$336 - \frac{1143}{7}$

Passaggio 8.3.29

Per scrivere $336$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$336 \cdot \frac{7}{7} - \frac{1143}{7}$

Passaggio 8.3.30

$336$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{336 \cdot 7}{7} - \frac{1143}{7}$

Passaggio 8.3.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{336 \cdot 7 - 1143}{7}$

Passaggio 8.3.32

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.32.1

Moltiplica $336$ per $7$ .

$\frac{2352 - 1143}{7}$

Passaggio 8.3.32.2

Sottrai $1143$ da $2352$ .

$\frac{1209}{7}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1209}{7}$

Forma decimale:

$172.71428571 \dots$

Forma numero misto:

$172 \frac{5}{7}$

Passaggio 10