Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 4.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 4.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- \cos (x)$ per $π$ e per $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Passaggio 8.2

Calcola $- \cos (u)$ per $2 π$ e per $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Passaggio 9.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Passaggio 10.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Passaggio 10.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Passaggio 10.7

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

Passaggio 10.8

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Passaggio 10.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Passaggio 10.10

Somma $- 1$ e $1$ .

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 10.11

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 10.12

Somma $4$ e $0$ .

$4$