Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{x}{3}$ . Allora $d u = \frac{1}{3} d x$ , quindi $3 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{x}{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.3

Dividi $0$ per $3$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

Passaggio 2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

Passaggio 4

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (u)$ come $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 8

$- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ e $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $- u + \tan (u)$ per $\frac{π}{3}$ e per $0$ .

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $\tan (0)$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Passaggio 10.4

Somma $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ e $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 11.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{3}$ nel numeratore.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- π + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- π + 3 \sqrt{3}$

Forma decimale:

$2.05455976 \dots$