Calcolo Esempi

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

Passaggio 2

Poiché $- c$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- c$ fuori dall'integrale.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Passaggio 3.2

Moltiplica $c$ per $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = - \frac{x}{c}$ . Allora $d u = - \frac{1}{c} d x$ , quindi $- c d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = - \frac{x}{c}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $- \frac{x}{c}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- \frac{1}{c}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{c}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{c}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $c$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Passaggio 4.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Passaggio 4.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{c}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $c$ per $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

Passaggio 6

Poiché $- c$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- c$ fuori dall'integrale.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Passaggio 7.2

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Passaggio 7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Passaggio 7.4

Somma $1$ e $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ per $8$ e per $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Passaggio 9.2

Calcola $e^{u}$ per $- \frac{8}{c}$ e per $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $c$ per $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $0$ per $e^{- \frac{0}{c}}$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.5

Somma $- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ e $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

Passaggio 10

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- c^{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $c^{2}$ per $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

Passaggio 11