Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sin (4 x)$ . Allora $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sin (4 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{upper} = \sin (4 π)$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 2

${u_{2}}^{6}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{6}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ per $0$ e per $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Passaggio 5.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Passaggio 5.2.6

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$0$